# turkmath.org

Türkiye'deki Matematiksel Etkinlikler

24 Mayıs 2016, 11:00

### Dokuz Eylül Üniversitesi Matematik Bölümü Seminerleri

Leyla Işık
Salzburg University, Avusturya

The well-known Chowla and Zassenhaus conjecture, proven by Cohen in 1990, states that for any $d\ge 2$ and any prime $p>(d^2-3d+4)^2$ there is no complete mapping polynomial in $\mathbb{F}_p[x]$ of degree $d$. For arbitrary finite fields $\mathbb{F}_q$, we give a similar result in terms of the Carlitz rank of a permutation polynomial rather than its degree. We prove that if $n<\lfloor q/2\rfloor$, then there is no complete mapping in $\mathbb{F}_q [x]$ of Carlitz rank $n$ of small linearity. We also determine how far permutation polynomials $f$ of Carlitz rank $n<\lfloor q/2\rfloor$ are from being complete, by studying value sets of $f(x)+x$. We provide examples of complete mappings if $n=\lfloor q/2\rfloor$, which shows that the above bound cannot be improved in general. In this talk, we will also present a new method for constructing complete mappings of finite fields. We give a sufficient condition for the construction of a family of complete mappings of Carlitz rank at most $n$. Moreover, for $n=4,5,6$ we obtain an explicit construction of complete mappings. Finally, we discuss value sets of particular classes of polynomials over finite fields. We consider a class $\mathcal{F}_{q,n}$ of polynomials of the form $F(x)=f(x)+x$, where $f$ is a permutation polynomial of Carlitz rank at most $n$. The study of the spectrum of $\mathcal{F}_{q,n}$ enables us to obtain a simple description of polynomials $F \in \mathcal{F}_{q,n}$ with prescribed the value set $V_F$, especially those avoiding a given set, like cosets of subgroups of the multiplicative group $\mathbb{F}_q^*$. The value set count for such $F$ can also be determined. This yields polynomials with evenly distributed values, which have small maximum count.
Cebir İngilizce
B206, DEÜ Mathematics Department

## İLETİŞİM

Akademik biriminizin ya da çalışma grubunuzun ülkemizde gerçekleşen etkinliklerini, ilan etmek istediğiniz burs, ödül, akademik iş imkanlarını veya konuk ettiğiniz matematikçileri basit bir veri girişi ile kolayca turkmath.org sitesinde ücretsiz duyurabilirsiniz. Sisteme giriş yapmak için gerekli bilgileri almak ya da görüş ve önerilerinizi bildirmek için iletişime geçmekten çekinmeyiniz. Katkı verenler listesi için tıklayınız.

Özkan Değer ozkandeger@gmail.com

## DESTEK VERENLER

31. Journees Arithmetiques Konferansı Organizasyon Komitesi

Web sitesinin masraflarının karşılanması ve hizmetine devam edebilmesi için siz de bağış yapmak, sponsor olmak veya reklam vermek için lütfen iletişime geçiniz.