turkmath.org

Ortogonal polinomların matematiksel istatistik, kuantum mekaniği ve matematiksel fiziğin uygulamalarında önemli bir yeri vardır. Bir değişkenli klasik ortogonal polinomların ilk örnekleri A.M. Legendre, P.S. Laplace, J.L. Lagrange ve N.H. Abel tarafından ele alınmıştır. Daha sonraları, P.L. Chebychev klasik ortogonal polinomların bazı önemli özel durumlarını araştırmış ve ortogonal polinomların genel teorisini geliştirmiştir. Bir değişkenli ortogonal polinomlar teorisi üzerinde yapılan çalışmalar ve elde edilen önemli sonuçlar C. Jacobi, C. Hermite, E. Laguerre ve T. Stieltjes tarafından verilmiştir. Ortogonal polinomlar teorisi üzerinde klasik sonuçlar Szegö (1939) tarafından ele alınmıştır. Tek değişkenli ortogonal polinomlar alanındaki çalışmaların artışı; biortogonal, q-ortogonal, katlı ortogonal, discrete ortogonal, matris ortogonal ve Sobolev ortogonal polinomların da tanımlanarak, bu konulardaki alan çalışmalarının genişletilmesine neden olmuştur. Çok değişkenli ortogonal polinomlar ise bu alanlardaki çalışmaların oldukça yeni bir boyutunu oluşturmaktadır. Bir değişkenli ortogonal polinomların ışığı altında, çok değişkenli ortogonal polinomlar teorisi üzerinde de önemli çalışmalar yapılmıştır ve halen yapılmaya devam edilmektedir. Jackson (1938) bir bölgede keyfi bir ağırlık fonksiyonuna göre ortogonal olan iki değişkenli ortogonal polinomların en basit özelliklerini ele almıştır. Daha sonra, Krall ve Sheffer (1967), Jackson'ın sonuçlarını genelleştirmiş ve özfonksiyonları bir bölgede ortogonal polinomlar olan ikinci basamaktan bazı lineer kısmi diferensiyel operatörleri incelemiştir. Engelis (1974) de benzer sonuçlar bulmuş ve iki değişkenli bazı ortogonal polinom sınıfları için Rodrigues formülünü elde etmiştir. Koornwinder (1975) iki değişkenli ortogonal polinomların bazı ailelerini tanımlamıştır. İki değişkenli ortogonal polinomlar teorisi üzerinde klasik sonuçlar Suetin (1988) tarafından ele alınmıştır. Son yıllarda çok değişkenli ortogonal polinomlar teorisi üzerinde önemli çalışmalar verilmiştir (Dunkl ve Xu 2001, Xu, 2006, 2008, Pinar ve Xu 2009, Aktas et al. 2011). Çok değişkenli Sobolev ortogonal polinomlar bu alanının oldukça yeni bir kısmını oluşturmaktadır. Bu seminerde, ilk olarak bir değişkenli, iki değişkenli ve çok değişkenli klasik ortogonal polinomlar hakkında genel bilgiler verilecek. Daha sonra Sobolev ortogonal polinomların özelliklerinden bahsedilip, simplekteki Sobolev ortogonal polinomlar tanımlanacak ve bunların ortogonallik özellikleri incelenecektir (Aktas ve Xu, 2013).