turkmath.org

Fonksiyonel analizin temel bir kavramı olan C*-cebirleri matris cebirlerinin ve tıkız Hausdorff topolojik uzaylarının ortak bir genellemesidir. Gelfand-Naimark (G-N) teoreminin modern versiyonu, değişmeli C*-cebirleri kategorisinin yerel tıkız Hausdorff topolojik uzayları kategorisine denk olduğunu söyler. Gelfand-Naimark-Segal (G-N-S) teoremi ise her C*-cebirini bir Hilbert uzayı H'ın doğrusal sınırlı operatörleri B(H)'ın kapalı bir *-alt cebiri olarak belirler. Yalnız G-N-S teoreminde ne H ne de alt cebir kanonik olarak verilemediğinden G-N-S teoreminin kategorik bir formülasyonu yoktur. Bütün C*-cebirlerini içeren benzeri bir sınıflandırma yapılamasa da kuantum küreler ve bazı diğer kuantum uzayları da kapsayan (elle tutulabilir operatör cebirleri olarak bilinen) çizge C*-cebirlerinin alt aileleri için benzeri bir sınıflandırma olabilir.

Birimli değişmeli bir C*-cebiri, tıkız bir Hausdorff uzayı X üzerinde tanımlı, kompleks değerli sürekli fonksiyonlar olan C(X)'e izomorf olduğundan, Stone-Weierstrass teoremi bu cebirin sonlu üretilmiş yoğun alt cebirlerini verir. Genelde polinom cebirleri veya onların bölümleri olan bu alt cebirlerin çizge C*-cebirlerindeki karşılığı ise Leavitt yol cebirleridir. Birçok uzayın (varyeteler gibi) boyutu bu yoğun polinom alt cebirlerinden elde edilebildiği gibi (örneğin Krull boyutu olarak) kuantum uzaylarının boyutları da standart örneklerde Leavitt yol cebirinin Gelfand-Kirillov boyutu olmaktadır. 

Bu konuşma Ayten Koç ile yapmakta olduğumuz, TÜBİTAK 1001 ARDEB 114F422 projesi ile kısmen desteklenen, ortak çalışmalarımız üzerinedir. Yukarıdaki terimlerin çoğu (C*-cebiri, kategoriler, kuantum uzayları, Leavitt yol cebiri, Gelfand-Kirillov boyutu gibi) konuşma sırasında tanımlanacaktır.