# turkmath.org

Türkiye'deki Matematiksel Etkinlikler

02 Aralık 2020, 13:00

### İstanbul Üniversitesi Matematik Bölümü Seminerleri

Mahmut Kuzucuoğlu
Middle East Technical University, Türkiye

One can use direct limit method to obtain new groups from the given ones with some prescribed properties. Recall that Cayley's theorem states that every group $G$  can be embedded by right regular representation into the symmetric group $Sym(G)$. By using Cayley's theorem,   the famous Hall's universal locally finite group can be obtained as a direct limit of finite symmetric groups. Indeed start with a group  $G_1$ with $|G_1|\geqslant 3$ embed $G_1$ into $Sym(G_1)=G_2$  by Cayley's theorem and continue like this by embedding  $G_2$ into $Sym(G_2)=G_3$ until infinity. The direct limit of these groups forms the Hall's universal locally finite group. We will discuss the basic properties of this group. Moreover we will continue to talk on existentially closed groups, their basic properties and mention the joint work with Burak Kaya and Otto H. Kegel.

If we forget to stop at level  $w$ in the construction of Hall's universal group and continue to apply Cayley's theorem until the first inaccessible cardinal say $\kappa$, then the direct limit group is the unique  $\kappa$-existentially closed group of cardinality $\kappa$, see [2]. The $\aleph_0$-existentially closed groups are introduced by W. R. Scott in 1951, see [3].  For the existence of $\kappa$-existentially closed groups, we prove the following:

Theorem 1 (Kaya-Kegel-K [1]) Let κ ≤ λ be uncountable cardinals. If λ is a successor cardinal, then there exists a κ-existentially closed group of cardinality λ.

References

[1] Burak Kaya, Otto H. Kegel and Mahmut Kuzucuoğlu; On the existence of k-existentially closed groups, Arch. Math. (Basel), 111, 225- 229, (2018).

[2] Otto H. Kegel and Mahmut Kuzucuğlu, κ-existentially closed groups, J. Algebra 499, 298–310, (2018).

[3] William R. Scott, Algebraically closed groups, Proc. Amer. Math. Soc. 2 (1951), 118–121

NOT: The seminar will be held online via the Zoom program. Those who want to participate should send an e-mail to "huseyinuysal@istanbul.edu.tr" in order to receive the Zoom meeting ID and Passcode.

Matematik İngilizce
Online

iu 30.11.2020

## İLETİŞİM

Akademik biriminizin ya da çalışma grubunuzun ülkemizde gerçekleşen etkinliklerini, ilan etmek istediğiniz burs, ödül, akademik iş imkanlarını veya konuk ettiğiniz matematikçileri basit bir veri girişi ile kolayca turkmath.org sitesinde ücretsiz duyurabilirsiniz. Sisteme giriş yapmak için gerekli bilgileri almak ya da görüş ve önerilerinizi bildirmek için iletişime geçmekten çekinmeyiniz. Katkı verenler listesi için tıklayınız.

Özkan Değer ozkandeger@gmail.com

## DESTEK VERENLER

31. Journees Arithmetiques Konferansı Organizasyon Komitesi

Web sitesinin masraflarının karşılanması ve hizmetine devam edebilmesi için siz de bağış yapmak, sponsor olmak veya reklam vermek için lütfen iletişime geçiniz.