Diferansiyel geometrinin temel kavramı olan eğri, birçok geometrik yapının inşasında olduğu gibi manifoldların geometrisinde de önemli rol oynamaktadır. Riemann manifoldları arasındaki diferansiyellenebilir dönüşümler, geometrik yapıları karşılaştırmak için kullanılan en önemli yöntemlerden biridir. İki Riemann manifold arasında bir eğrinin korunması her iki manifoldun geometrik ve fiziksel özellikleri hakkında daha fazla bilgi sahibi olmayı mümkün kılar. İzometrik immersiyonlar ve Riemann dönüşümler en çok çalışılan dönüşüm türlerindendir. Bu dönüşümler tanım manifoldun ve hedef manifoldun geometrisini incelemek ve yeni manifoldlar elde edebilmek açısından son derece önemlidir. Bu konuşmada öncelikle manifoldlar ve dönüşümler ile ilgili temel kavramlar, kullanım alanları ve konu üzerine yapılmış önemli çalışmalardan bahsedilecektir. Daha sonra varyasyonel bir eğri olan hiperelastik eğrilerin (ve özel hali elastik eğrilerin), dönüşümlerin geometrisine olan etkisi için elde edilen sonuçlar sunulacak ve konu ile ilgili açık problemlerden bahsedilecektir.