Topolojik Uzay

Tanım

$ X $'in alt kümelerinden oluşan bir $ \Tau $ $ \subseteq $ $ P(X) $ topluluğu aşağıdaki 3 koşulu sağlıyorsa bu topluluğa X üzerinde bir topoloji ve bu durumda $ (X,\Tau) $ ikilisine bir topolojik uzay denir.

1. $ \empty $ , $ X \in \Tau $
2. $ \Tau $'nun sonlu sayıda elemanının kesişimi yine $ \Tau $'ya ait olmalı.$ \forall A_1,A_2 \in \Tau $ için $ A_1 \cap A_2 \in \Tau $
3. $ \Tau $'nun herhangi sayıda elemanın birleşimi yine $ \Tau $'ya aittir.$ I $ herhangi bir küme olmak üzere;$ \forall \alpha \in I $ için $ A_\alpha $ $ \in \Tau $ varsa $ \bigcup $ $ A_\alpha \in \Tau $

Örnekler

Trivial Topoloji

$ \Tau=\{\empty,X\} $

1. $ \empty \in \Tau $ ve $ X \in \Tau $
2. $ \empty \cap X = \empty \in \Tau $
3. $ \empty \cup X=X\in \Tau $

Diskrit Topoloji

$ \Tau = P(X) $ ; $ A \in \Tau \Leftrightarrow A \subseteq X $

1. $ \empty \subseteq X $ ve $ X \subseteq X $ olduğundan $ \empty ,X $ $ \in P(X) $
2. $ \forall A,B\in P(X) $ alalım;$ A\subseteq X $ ve $ B\subseteq X $ olduğundan $ A\cap B \in \Tau $
3. $ I $ herhangi bir küme olmak üzere $ \forall \alpha \in I $ için $ A_\alpha \in \Tau $ olsun.$ \Leftrightarrow \forall \alpha \in I $ için $ A_\alpha \subseteq X $ $ \Rightarrow $ $ \bigcup A_\alpha \subseteq X $ $ \Rightarrow $ $ \bigcup A_\alpha \in \Tau $

Sonuç: Disktrit Topolojide her alt küme hem açık hem kapalıdır.

Bütünleyen-Sonlu Topolojisi

$ X $ sonsuz bir küme olmak üzere; $ \Tau_{büt-sonlu} $ $ = \{ A \subseteq X ; A^c Sonlu \} \cup \{\empty\} $

1. $ X^c=\empty $ ve $ card\empty=0 $ olduğundan $ X\in \Tau_{büt-sonlu} $ ve $ (\empty)^c = X \in \Tau_{büt-sonlu} $
2. $ G_1,G_2 \in \Tau_{büt-sonlu} $ olsun.$ (G_1 \cap G_2)^c $ = $ (G_1)^c \cup (G_2)^c $ ve sonlu iki kümenin birleşimi sonlu olduğundan $ G_1 \cup G_2 \in \Tau_{büt-sonlu} $
3. $ I $ herhangi bir küme olmak üzere; $ \forall \alpha \in I $ için $ G_\alpha \in \Tau_{büt-sonlu} $ (yani $ (G_\alpha)^c $ sonlu) $ \Rightarrow $ $ \bigcap G_\alpha \in \Tau_{büt-sonlu} $ (yani ; $ (\bigcap G_\alpha )^c = \bigcup (G_\alpha)^c \subseteq (G_\alpha)^c $)