Hiperbolik geometri
HİPERBOLİK GEOMETRİ VE ÖKLİD GEOMETRİSİNİN KARŞILAŞTIRILMASI
Hiperbolik geometri , Öklid geometrisinden bir belitle ayrılır. Öklit'in paralellik belitinin tersini doğru olarak kabul eden geometride bir doğrunun dışındaki bir noktadan birden çok (sonsuz) tane paralel doğru geçebilir.
Öklid in V. postulatı paralellik aksiyomu olarak anılır. Paralellik aksiyomu, 19. Yüzyıla kadar matematikçileri uğraştıran zorlu bir uğraş alanı haline gelmiştir. Fransız matematikçi D'Alembert'in Geometri de skandal!…diye açıkladığı bu konunun anlaşılması 2000 yıldan daha uzun bir zaman almıştır. Gerçekte Euclid bile bu aksiyomdan pek hoşnut değildi. Bu hoşnutsuzluk 19. Yüzyılın en ünlü matematikçisi K.F. Gauss a dek süre gelmiştir. Öklid'in paralellik aksiyomu öteki 9 aksiyomdan bağımsızdır diyen Gauss , Euclid geometrisinin evrensel sayılan gerçeklerini yıkıyordu.Çünkü paralellik aksiyomu değiştirilirse örneğin bir doğruya dışındaki bir noktadan sonsuz çoklukta paralel doğrular çizilebilir denilse Euclid in öteki dokuz aksiyomu ile birlikte çelişkisiz bir sistem oluşur. Bu sistemin oluşturduğu geometri Öklid geometrisinden farklı olur. Böylece Gauss un deyimiyle Öklidyen olmayan bir geometri kurulmuş olur. Gauss evrenin hem euclid geometrisi hem de öklidyen olmayan bir geometri ile temsil edilebileceğini söylüyor. Bunun anlamı şudur : Bir geometri , içinde yaşadığımız uzay hakkındaki doğruları değil , kuramsal olarak mümkün uzaylar hakkındaki gerçekleri inceler.Farklı iki geometrinin aynı evreni temsil etmemesi için de hiçbir neden yoktur. Buna örnek olarak Gauss un öğrencisi olan Riemann tarafından kurulan ve kendi adıyla anılan geometriyi düşünelim. Rieman Öklid'in paralellik aksiyomunu şöyle değiştiriyor: Paralel doğrular yoktur. Böylece öklidyen olmayan başka bir geometri ortaya çıkıyor. Bu geometri ile içinde yaşadığımız uzayı temsil edebiliriz. Örneğin dünyayı bir küre olarak düşünürsek dünya üzerindeki büyük çemberler ( yani merkezden geçen düzlemlerin yer yüzeyi ile ara kesitleri ) Riemann geometrisinin doğrularını oluşturacaktır. Dolayısıyla bu geometride doğrular sınırlıdır. Oysa Euclid geometrisinde doğrular her iki uçlarından sonsuza uzanırlar.
Hiperbolik Geometride (hiperboloit geometrisi -saddle geometry- ya da Lobachevskian geometrisi olarak da adlandırılır) paralellik terimi yalnızca hiperbolik düzlemde kesişmeyen ancak çemberde sonsuzda kesişecek olan bir doğru çiftini anlatmak için kullanılır. Eğer bu doğru çifti ne hiperbolik düzlemde ne de çemberde sonsuzda kesişirse (yani her iki durumda da kesişmezse) aşırıparalel olarak adlandırılırlar. Hiperbolik düzlemin dikkate değer bir özelliği her aşırıparalel doğru çifti için iki doğru için ortak olan yalnızca bir tek bir dikme çizilebilir.
Modeller
Bu geometri, öklit uzayının bir altuzayı olarak düşünülebilir. Bu durumda hiperbolik geometri aslında çift yanaklı bir hiperboloitin bir yanağının yüzeyindeki geometri olarak alınabilir. Bu çanak yüzeyini bir düzleme izdüşümleyerek çeşitli modeller oluşturulabilir.
Klein-Beltrami modeli
Eğer dik izdüşüm yapılırsa Klein-Beltrami modeli elde edilir. Bu modelde hiperbolik düzlem bir dairenin içindeki Öklitçi noktalardan oluşur ve "doğrular" sınır çemberin kirişleridir. Çemberin üzerindeki noktalar geometriye dahil olmayacağından burada kesişen iki kiriş aslında paralel olacaktır, bu kirişlere yakınsak paralel doğru denir. Eğer tamamen ayrık iki kiriş ise sadece paralel ya da bazen paralel ötesi doğrular denir.
Poincaré disk modeli
Eğer hiperboloide stereografik izdüşüm uygulanırsa bu sefer oluşturulan modele Poincaré disk modeli denir. Burada geometri yine bir çemberin içinde kalan noktalardan oluşacaktır ancak doğrular bu çembere dik olan çember yayları olacaktır. Bu izdüşümün en önemli özelliği açıları ve çemberleri korumasıdır. Bu modelin analitik geometrisi için Hilbert, uçlar aritmetiğini geliştirmiştir.
Poincaré yarı-düzlem modeli
Eğer hiperboloit XY düzlemine dik olan bir düzleme izdüşümlenirse, oluşan model Poincaré yarı-düzlem modelidir. Bu modelde hiperboloit düzlemin belli bir doğrusunun yarattığı bir yarısındaki noktalara eşlenmiştir ve doğrular bu ayıran doğruya dik olan ya öklitçi ışınlardır ya da çember yaylarıdır.
http://www.wikiwand.com/tr/Hiperbolik_geometri
