Halka

Tanım

$ H $ boş kümeden farklı bir küme olsun. $ H $ üzerinde aşağıdaki koşulları sağlayan $ + $ ve $ . $ işlemleri tanımlanmış ise $ <H,+.> $ cebirsel yapısına halka denir.

1. $ <H,+> $ bir komütatif gruptur.
2. $ <H,.> $ bir yarıgruptur.
3. $ \forall a,b,c \in $ H için $ a.(b+c)=a.b+a.c $ ve $ (b+c).a=b.a+c.a $'dır.

Örnek

$ \mathbb{Z} $, $ \mathbb{Q} $ , $ \mathbb{R} $ , $ \mathbb{C} $ kümeleri üzerinde tanımlanan doğal toplama ve çarpma işlemlerine göre birer halkadır. $ <\mathbb{N},+> $ bir grup olmadığından $ \mathbb{N} $ üzerinde tanımlanan doğal toplama ve çarpma işlermlerine göre bir halka değildir.

Komütatif Halka

$ <H,+,.> $ halkasında $ \forall a,b \in H $ için $ a.b=b.a $ gerçekleniyorsa yani $ <H,.> $ bir komütatif grupsa, $ <H,+,.> $ ya bir komütatif halka denir.

Örnek

$ \mathbb{Z} $, $ \mathbb{Q} $ , $ \mathbb{R} $ , $ \mathbb{C} $ birer komütatif halkadır. $ Mat_2 (\mathbb{Z}) = \{ \bigl( \begin{smallmatrix} a&b\\ c&d \end{smallmatrix} \bigr) ; a,b,c,d \in \mathbb{Z} \} $ kümesi $ . $ ya göre halka fakat komütatif değildir.

Birimli Halka

$ <H,+,.> $ halkasının ikinci işlemine göre (burada ki ikinci işlem $ . $ işlemidir.) etkisiz elemanı varsa, $ <H,+,.> $ ya birimli halka denir.Aksi halde; $ <H,+.> $ halkasının $ . $ ya göre etkisiz elemanı yoksa birimsiz halka denir.

Örnek

$ \mathbb{Z} $, $ \mathbb{Q} $ , $ \mathbb{R} $ , $ \mathbb{C} $ birimli halkalardır. $ \mathbb{Z_{4}} $ birimsiz halkadır.

Halkanın "0" ı

Herhangi bir $ <H,+,.> $ halkasının toplama işlemine göre etkisiz elemanına -ki bu etkisi eleman vardır ve tek türlü belirlidir.- halkanın sıfırı denir ve $ 0_H $ ile gösterilir.

Halkanın Birimi

$ <H,+,.> $ halkasının $ . $ işlemine göre etkisiz elemanı varsa -ki olmayabilir- bu elemana $ H $ halkasının birimi denir ve $ 1_H $ ile gösterilir.

Ters Eleman

$ <H,+,.> $ birimli halkasından bir $ a \in H $'nın $ . $ işlemine göre tersi varsa -ki olmayabilir ve varsa tek türlü belirlidir.- bu ters elemana $ a \in H $'nın $ <H,+,.> $ da ki tersi denir ve $ a^{-1} $ ile gösterilir.

Sıfır Bölen

• $ <H,+,.> $ bir halka ve $ a \in H-\{0_H\} $ olsun.Eğer $ a.b=0_H $ $ (b.a=0_H) $ olacak biçimde bir $ b \in H-\{0_H\} $ elemanı varsa $ a \in H-\{0_H\} $ ya $ H $ halkasının bir sol(sağ) böleni denir.
• $ <H,+,.> $ halkasında $ a \in H-\{0_H\} $ bir sol(sağ) sıfır bölen ise yani $ a.b=0_H $ $ (b.a=0_H) $ olacak biçimde bir $ a \in H-\{0_H\ $} varsa, (a,b) ye $ <H,+,.> $ halkasında bir sıfır bölen çifti denir.
• Bir $ <H,+,.> $ halkasında en az bir sıfır bölen çifti varsa; $ <H,+,.> $ halkasına bir sıfır bölenli halka,aksi halde hiç sıfır bölen çifti yoksa $ <H,+,.> $ halkasına sıfır bölensiz halka denir.

Örnek

$ \mathbb{Z} $, $ \mathbb{Q} $ , $ \mathbb{R} $ , $ \mathbb{C} $ halkaları sıfır bölensiz halkalardır. $ \mathbb{Z_4} $ birimli halkadır.

Teorem(Sadeleştirme Kuralı)

$ <H,+,.> $ halkasında sadeleştirme kuralının geçerli olabilmesi için gerek yeter koşul <H,+,.> halkasının sıfır bölensiz bir halka olmasıdır.

İspat

$ \Rightarrow $ : $ <H,+,.> $ halkasında ($ . $ işlemine göre) sadeleştirme kuralı geçerli olsun. $ <H,+,.> $ bir sıfır bölenli halka olsa; $ a.b=0_H $ olacak biçimde $ a,b \in H-\{0_H\} $ elemanları var olur.Bu durumda $ a.b=0_H=a.0_H $ ve sadeleştirme kuralından $ b=0_H $ çelişkisi elde edilir.O halde $ <H,+,.> $ sıfır bölensiz halkadır.

$ \Leftarrow $ : $ <H,+,.> $ bir sıfır bölensiz halka olsun. $ a \in H-\{0_H\} $ ve $ b,c \in H $ olmak üzere; $ a.b=b.c $ ise $ a.b +(-(a.c))=0_H $ $ \Rightarrow a.b+a.(-c)=0_H $ $ a(b+(-c))=0_H $ ve $ a \neq 0_H $ olduğundan $ b+(-c)=0_H $ $ \Rightarrow $ $ b=c $ elde edilir.$ b.a=c.a $ ise $ b.a+(-(c.a))=0_H $ $ \Rightarrow $ $ (b.a)+((-c).a)=0_H $ ise $ (b+(-c)).a=0_H $ $ \Rightarrow $ $ b+(-c)=0_H $ $ \Rightarrow $ $ b=c $ elde edilir.O halde gerçekten $ <H,+.> $ halkasında sadeleştirme kuralı geçerlidir.